확률의 특성

확률은 다음과 같은 특성을 가진다. 이 성질들은 확률의 정의가 아니라 정의로부터 유도되었다.

• 공집합

$$ P\{\emptyset\} = 0 $$

• 여집합

$$ P\{A^C\} = 1 - P\{A\} $$

• 포함-배제 원리

$$ P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) $$

공집합의 확률

공집합의 확률은 0이다.

(증명)

확률의 정의로부터 사건 $A$와 사건 $B$가 공통원소가 없다면 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$이 된다.

$B = \emptyset$인 경우 $A$와 $B$의 공통원소는 없으며 $A \cup B = A$

$$P(A \cup B) = P(A) = P(A) + P(B)$$$$ \therefore P(B) = 0 $$

여집합의 확률

여집합의 확률은 1 - 원래 집합의 확률이다.

$$ P\{A^C\} = 1 - P\{A\} $$

(증명)

확률의 정의로부터 사건 $A$와 사건 $B$가 공통원소가 없다면 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$이 된다.

$B = A^C$인 경우 $A$와 $B$의 공통원소는 없다.

$$P(A \cup A^C) = P(\Omega) = 1 = P(A) + P(A^C)$$$$ \therefore P(A^C) = 1 - P(A) $$

포함-배제 원리 inclusion–exclusion principle

$$ P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) $$

(증명)

$$ \begin{eqnarray*} P(A \cup B) &=& P(A \cup (B\cap A^C)) \\ &=& P(A) + P(B\cap A^C) \\ &=& P(A) + P(B\cap A^C) + P(A ∩ B) – P(A ∩ B) \\ &=& P(A) + P((A^C\cap B) ∪ (A ∩ B)) – P(A ∩ B) \\ &=& P(A) + P(B) – P(A ∩ B) \end{eqnarray*} $$

전체 확률의 법칙 law of total probability

$B_i$가 다음을 만족하는 사건들인 경우,

• 서로 교집합이 없고 $$ B_i \cap B_j = \emptyset $$

• 모두 합쳤을 때 (합집합) 전체 표본 공간이면 $$ B_1 \cup B_2 \cup \cdots = \Omega $$

모든 사건 A에 대해 다음 등식이 성립한다.

$$ P(A) = \sum_i P(A, B_i) $$

(증명) $$ \begin{eqnarray} A &=& A \cap \Omega \\ &=& A \cap (B_1 \cup B_2 \cup \cdots ) \\ &=& (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup \cdots \\ \end{eqnarray} $$

$A \cap B_i$ 는 모두 서로 공통 원소가 없다. 따라서 확률의 정의에 따라 다음 등식이 성립.

$$ P(A) = P(A \cap B_1) \cup P(A \cap B_2) \cup \cdots = \sum_i P(A, B_i) $$